一、寻找子问题
想一想，最后一步发生了什么？
最后一步，我们从某个满足条件的下标 $i$ 跳到了下标 $n-1$。
枚举满足条件的 $i$，问题变成：
- 从下标 $0$ 到达下标 $i$ 所需的最大跳跃次数。
这是和原问题相似的、规模更小的子问题，可以用递归解决。
注：从右往左思考，主要是方便把递归翻译成从左往右的递推。从左往右思考也是可以的。
二、状态定义与状态转移方程
根据上面的讨论，定义 $\textit{dfs}(j)$ 表示从下标 $0$ 到达下标 $j$ 所需的最大跳跃次数。
枚举满足 $0\le i<j$ 且 $|\textit{nums}[i]-\textit{nums}[j]|\le \textit{target}$ 的下标 $i$，问题变成从下标 $0$ 到达下标 $i$ 所需的最大跳跃次数，再加上从 $i$ 跳到 $j$ 的一次。
取最大值，得
$$
\textit{dfs}(j) = \max_{i} \textit{dfs}(i) + 1
$$
其中 $0\le i<j$ 且 $|\textit{nums}[i]-\textit{nums}[j]|\le \textit{target}$。
递归边界：
- $\textit{dfs}(0)=0$。从 $0$ 到 $0$ 不用跳。
- 如果没有满足条件的 $i$，那么 $\textit{dfs}(j) = -\infty$。
递归入口：$\textit{dfs}(n-1)$，这是原问题，也是答案。
三、递归搜索 + 保存递归返回值 = 记忆化搜索
考虑到整个递归过程中有大量重复递归调用（递归入参相同）。由于递归函数没有副作用，同样的入参无论计算多少次，算出来的结果都是一样的，因此可以用记忆化搜索来优化：
- 如果一个状态（递归入参）是第一次遇到，那么可以在返回前，把状态及其结果记到一个 $\textit{memo}$ 数组中。
- 如果一个状态不是第一次遇到（$\textit{memo}$ 中保存的结果不等于 $\textit{memo}$ 的初始值），那么可以直接返回 $\textit{memo}$ 中保存的结果。
Python 用户可以无视上面这段，直接用 @cache 装饰器。
关于记忆化搜索的原理，请看视频讲解 动态规划入门：从记忆化搜索到递推【基础算法精讲 17】，其中包含把记忆化搜索 1:1 翻译成递推的技巧。
class Solution:
def maximumJumps(self, nums: List[int], target: int) -> int:
@cache # 缓存装饰器，避免重复计算 dfs（一行代码实现记忆化）
def dfs(j: int) -> int:
if j == 0: # 起点
return 0
res = -inf
for i in range(j):
if abs(nums[i] - nums[j]) <= target: # 可以从 i 跳到 j
res = max(res, dfs(i) + 1)
return res
ans = dfs(len(nums) - 1) # 终点
return -1 if ans < 0 else ans
class Solution {
public int maximumJumps(int[] nums, int target) {
int n = nums.length;
int[] memo = new int[n];
int ans = dfs(n - 1, nums, target, memo);
return ans < 0 ? -1 : ans;
}
private int dfs(int j, int[] nums, int target, int[] memo) {
if (j == 0) { // 起点
return 0;
}
if (memo[j] != 0) { // 之前计算过
return memo[j];
}
int res = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 0; i < j; i++) {
if (Math.abs(nums[i] - nums[j]) <= target) { // 可以从 i 跳到 j
res = Math.max(res, dfs(i, nums, target, memo) + 1);
}
}
memo[j] = res; // 记忆化
return res;
}
}
class Solution {
public:
int maximumJumps(vector<int>& nums, int target) {
int n = nums.size();
vector<int> memo(n);
auto dfs = [&](this auto&& dfs, int j) -> int {
if (j == 0) { // 起点
return 0;
}
int& res = memo[j]; // 注意这里是引用
if (res) { // 之前计算过
return res;
}
res = INT_MIN;
for (int i = 0; i < j; i++) {
if (abs(nums[i] - nums[j]) <= target) { // 可以从 i 跳到 j
res = max(res, dfs(i) + 1);
}
}
return res;
};
int ans = dfs(n - 1); // 终点
return ans < 0 ? -1 : ans;
}
};
func maximumJumps(nums []int, target int) int {
n := len(nums)
memo := make([]int, n)
var dfs func(int) int
dfs = func(j int) int {
if j == 0 { // 起点
return 0
}
p := &memo[j]
if *p != 0 { // 之前计算过
return *p
}
res := math.MinInt
for i, x := range nums[:j] {
if abs(x-nums[j]) <= target { // 可以从 i 跳到 j
res = max(res, dfs(i)+1)
}
}
*p = res // 记忆化
return res
}
ans := dfs(n - 1) // 终点
if ans < 0 {
return -1
}
return ans
}
func abs(x int) int {
if x < 0 {
return -x
}
return x
}
复杂度分析
- 时间复杂度：$\mathcal{O}(n^2)$，其中 $n$ 是 $\textit{nums}$ 的长度。由于每个状态只会计算一次，动态规划的时间复杂度 $=$ 状态个数 $\times$ 单个状态的计算时间。本题状态个数等于 $\mathcal{O}(n)$，单个状态的计算时间为 $\mathcal{O}(n)$，所以总的时间复杂度为 $\mathcal{O}(n^2)$。
- 空间复杂度：$\mathcal{O}(n)$。保存多少状态，就需要多少空间。
四、1:1 翻译成递推
我们可以去掉递归中的「递」，只保留「归」的部分，即自底向上计算。
具体来说，$f[j]$ 的定义和 $\textit{dfs}(j)$ 的定义是完全一样的，都表示从下标 $0$ 到达下标 $j$ 所需的最大跳跃次数。
相应的递推式（状态转移方程）也和 $\textit{dfs}$ 一样：
$$
f[j] = \max_{i} f[i] + 1
$$
其中 $0\le i<j$ 且 $|\textit{nums}[i]-\textit{nums}[j]|\le \textit{target}$。
如果没有满足条件的 $i$，那么 $f[j] = -\infty$。
初始值 $f[0]=0$，翻译自递归边界 $\textit{dfs}(0)=0$。
答案为 $f[n-1]$，翻译自递归入口 $\textit{dfs}(n-1)$。
class Solution:
def maximumJumps(self, nums: List[int], target: int) -> int:
n = len(nums)
f = [-inf] * n
f[0] = 0
for j in range(1, n):
for i in range(j):
if abs(nums[i] - nums[j]) <= target: # 可以从 i 跳到 j
f[j] = max(f[j], f[i] + 1)
return -1 if f[-1] < 0 else f[-1]
class Solution {
public int maximumJumps(int[] nums, int target) {
int n = nums.length;
int[] f = new int[n];
for (int j = 1; j < n; j++) {
f[j] = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 0; i < j; i++) {
if (Math.abs(nums[i] - nums[j]) <= target) { // 可以从 i 跳到 j
f[j] = Math.max(f[j], f[i] + 1);
}
}
}
return f[n - 1] < 0 ? -1 : f[n - 1];
}
}
class Solution {
public:
int maximumJumps(vector<int>& nums, int target) {
int n = nums.size();
vector<int> f(n, INT_MIN);
f[0] = 0;
for (int j = 1; j < n; j++) {
for (int i = 0; i < j; i++) {
if (abs(nums[i] - nums[j]) <= target) { // 可以从 i 跳到 j
f[j] = max(f[j], f[i] + 1);
}
}
}
return f[n - 1] < 0 ? -1 : f[n - 1];
}
};
func maximumJumps(nums []int, target int) int {
n := len(nums)
f := make([]int, n)
for j := 1; j < n; j++ {
f[j] = math.MinInt
for i, x := range nums[:j] {
if abs(x-nums[j]) <= target { // 可以从 i 跳到 j
f[j] = max(f[j], f[i]+1)
}
}
}
if f[n-1] < 0 {
return -1
}
return f[n-1]
}
func abs(x int) int {
if x < 0 {
return -x
}
return x
}
复杂度分析
- 时间复杂度：$\mathcal{O}(n^2)$，其中 $n$ 是 $\textit{nums}$ 的长度。
- 空间复杂度：$\mathcal{O}(n)$。
五、值域线段树优化 DP
如果 $n=10^5$，上面的做法就超时了。
遍历到 $\textit{nums}[j]$ 时，我们需要知道满足 $\textit{nums}[j]-\textit{target} \le \textit{nums}[i] \le \textit{nums}[j]+\textit{target}$ 的最大的 $f[i]$。
这可以用一棵值域线段树维护。线段树的区间是值域区间，例如区间 $[20,23]$ 指的是 $\textit{nums}$ 中的元素 $20,21,22,23$。线段树的每个节点保存的是值域区间对应的最大的 $f[i]$。例如 $\textit{nums}[4]=20$ 且 $f[4] = 3$，那么线段树维护的位置 $20$ 更新为 $3$。
如此一来，满足 $\textit{nums}[j]-\textit{target} \le \textit{nums}[i] \le \textit{nums}[j]+\textit{target}$ 的最大的 $f[i]$，可以通过线段树的区间最值查询得到。
# 完整的线段树模板见 https://leetcode.cn/circle/discuss/mOr1u6/
class SegmentTree:
def __init__(self, n: int) -> None:
self.t = [-inf] * (2 << (n - 1).bit_length())
def update(self, node: int, l: int, r: int, i: int, val: int) -> None:
if l == r: # 叶子
self.t[node] = val
return
m = (l + r) // 2
if i <= m: # i 在左子树
self.update(node * 2, l, m, i, val)
else: # i 在右子树
self.update(node * 2 + 1, m + 1, r, i, val)
self.t[node] = max(self.t[node * 2], self.t[node * 2 + 1])
def query(self, node: int, l: int, r: int, ql: int, qr: int) -> int:
if ql <= l and r <= qr: # 当前子树完全在 [ql, qr] 内
return self.t[node]
m = (l + r) // 2
if qr <= m: # [ql, qr] 在左子树
return self.query(node * 2, l, m, ql, qr)
if ql > m: # [ql, qr] 在右子树
return self.query(node * 2 + 1, m + 1, r, ql, qr)
return max(self.query(node * 2, l, m, ql, qr), self.query(node * 2 + 1, m + 1, r, ql, qr))
class Solution:
def maximumJumps(self, nums: List[int], target: int) -> int:
# 去重排序，便于离散化
sorted_nums = sorted(set(nums))
n = len(nums)
m = len(sorted_nums)
t = SegmentTree(m) # 值域线段树
# nums[0] 对应的 f[0] = 0
t.update(1, 0, m - 1, bisect_left(sorted_nums, nums[0]), 0)
for j in range(1, n):
l = bisect_left(sorted_nums, nums[j] - target) # >= nums[j]-target 的第一个数
r = bisect_right(sorted_nums, nums[j] + target) - 1 # <= nums[j]+target 的最后一个数
# t.query 返回满足 nums[j]-target <= nums[i] <= nums[j]+target 的最大的 f[i]
fj = t.query(1, 0, m - 1, l, r) + 1
t.update(1, 0, m - 1, bisect_left(sorted_nums, nums[j]), fj)
return -1 if fj < 0 else fj
class Solution {
// 完整的线段树模板见 https://leetcode.cn/circle/discuss/mOr1u6/
private int[] tree;
private void update(int node, int l, int r, int i, int val) {
if (l == r) { // 叶子
tree[node] = val;
return;
}
int m = (l + r) / 2;
if (i <= m) { // i 在左子树
update(node * 2, l, m, i, val);
} else { // i 在右子树
update(node * 2 + 1, m + 1, r, i, val);
}
tree[node] = Math.max(tree[node * 2], tree[node * 2 + 1]);
}
private int query(int node, int l, int r, int ql, int qr) {
if (ql <= l && r <= qr) { // 当前子树完全在 [ql, qr] 内
return tree[node];
}
int m = (l + r) / 2;
if (qr <= m) { // [ql, qr] 在左子树
return query(node * 2, l, m, ql, qr);
}
if (ql > m) { // [ql, qr] 在右子树
return query(node * 2 + 1, m + 1, r, ql, qr);
}
return Math.max(query(node * 2, l, m, ql, qr), query(node * 2 + 1, m + 1, r, ql, qr));
}
public int maximumJumps(int[] nums, int target) {
int n = nums.length;
int[] sorted = nums.clone(); // 用于离散化
Arrays.sort(sorted);
tree = new int[2 << (32 - Integer.numberOfLeadingZeros(n - 1))];
Arrays.fill(tree, Integer.MIN_VALUE);
// nums[0] 对应的 f[0] = 0
update(1, 0, n - 1, lowerBound(sorted, nums[0]), 0);
for (int j = 1; ; j++) {
int l = lowerBound(sorted, (long) nums[j] - target); // >= nums[j]-target 的第一个数
int r = lowerBound(sorted, (long) nums[j] + target + 1) - 1; // <= nums[j]+target 的最后一个数
// query 返回满足 nums[j]-target <= nums[i] <= nums[j]+target 的最大的 f[i]
int fj = query(1, 0, n - 1, l, r) + 1;
if (j == n - 1) {
return fj < 0 ? -1 : fj;
}
update(1, 0, n - 1, lowerBound(sorted, nums[j]), fj);
}
}
// 见 https://www.bilibili.com/video/BV1AP41137w7/
private int lowerBound(int[] nums, long target) {
int left = -1;
int right = nums.length;
while (left + 1 < right) {
int mid = (left + right) >>> 1;
if (nums[mid] >= target) {
right = mid;
} else {
left = mid;
}
}
return right;
}
}
// 完整的线段树模板见 https://leetcode.cn/circle/discuss/mOr1u6/
class SegmentTree {
vector<int> tree;
public:
SegmentTree(int n) : tree(2 << bit_width(n - 1u), INT_MIN) {}
void update(int node, int l, int r, int i, int val) {
if (l == r) { // 叶子
tree[node] = val;
return;
}
int m = (l + r) / 2;
if (i <= m) { // i 在左子树
update(node * 2, l, m, i, val);
} else { // i 在右子树
update(node * 2 + 1, m + 1, r, i, val);
}
tree[node] = max(tree[node * 2], tree[node * 2 + 1]);
}
int query(int node, int l, int r, int ql, int qr) const {
if (ql <= l && r <= qr) { // 当前子树完全在 [ql, qr] 内
return tree[node];
}
int m = (l + r) / 2;
if (qr <= m) { // [ql, qr] 在左子树
return query(node * 2, l, m, ql, qr);
}
if (ql > m) { // [ql, qr] 在右子树
return query(node * 2 + 1, m + 1, r, ql, qr);
}
return max(query(node * 2, l, m, ql, qr), query(node * 2 + 1, m + 1, r, ql, qr));
}
};
class Solution {
public:
int maximumJumps(vector<int>& nums, int target) {
// 排序去重，便于离散化
auto sorted = nums;
ranges::sort(sorted);
sorted.erase(ranges::unique(sorted).begin(), sorted.end());
int n = nums.size();
int m = sorted.size();
SegmentTree t(m); // 值域线段树
// nums[0] 对应的 f[0] = 0
int pos = ranges::lower_bound(sorted, nums[0]) - sorted.begin();
t.update(1, 0, m - 1, pos, 0);
long long tar = target;
for (int j = 1; ; j++) {
int l = ranges::lower_bound(sorted, nums[j] - tar) - sorted.begin(); // >= nums[j]-target 的第一个数
int r = ranges::upper_bound(sorted, nums[j] + tar) - sorted.begin() - 1; // <= nums[j]+target 的最后一个数
// t.query 返回满足 nums[j]-target <= nums[i] <= nums[j]+target 的最大的 f[i]
int fj = t.query(1, 0, m - 1, l, r) + 1;
if (j == n - 1) {
return fj < 0 ? -1 : fj;
}
pos = ranges::lower_bound(sorted, nums[j]) - sorted.begin();
t.update(1, 0, m - 1, pos, fj);
}
}
};
// 完整的线段树模板见 https://leetcode.cn/circle/discuss/mOr1u6/
type seg []int
func (t seg) update(node, l, r, i, val int) {
if l == r { // 叶子
t[node] = val
return
}
m := (l + r) / 2
if i <= m { // i 在左子树
t.update(node*2, l, m, i, val)
} else { // i 在右子树
t.update(node*2+1, m+1, r, i, val)
}
t[node] = max(t[node*2], t[node*2+1])
}
func (t seg) query(node, l, r, ql, qr int) int {
if ql <= l && r <= qr { // 当前子树完全在 [ql, qr] 内
return t[node]
}
m := (l + r) / 2
if qr <= m { // [ql, qr] 在左子树
return t.query(node*2, l, m, ql, qr)
}
if ql > m { // [ql, qr] 在右子树
return t.query(node*2+1, m+1, r, ql, qr)
}
return max(t.query(node*2, l, m, ql, qr), t.query(node*2+1, m+1, r, ql, qr))
}
func maximumJumps(nums []int, target int) int {
// 排序去重，便于离散化
sorted := slices.Clone(nums)
slices.Sort(sorted)
sorted = slices.Compact(sorted)
n := len(nums)
m := len(sorted)
t := make(seg, 2<<bits.Len(uint(m-1))) // 值域线段树
for i := range t {
t[i] = math.MinInt
}
// nums[0] 对应的 f[0] = 0
t.update(1, 0, m-1, sort.SearchInts(sorted, nums[0]), 0)
for j := 1; ; j++ {
l := sort.SearchInts(sorted, nums[j]-target) // >= nums[j]-target 的第一个数
r := sort.SearchInts(sorted, nums[j]+target+1) - 1 // <= nums[j]+target 的最后一个数
// t.query 返回满足 nums[j]-target <= nums[i] <= nums[j]+target 的最大的 f[i]
fj := t.query(1, 0, m-1, l, r) + 1
if j == n-1 {
if fj < 0 {
return -1
}
return fj
}
t.update(1, 0, m-1, sort.SearchInts(sorted, nums[j]), fj)
}
}
复杂度分析
- 时间复杂度：$\mathcal{O}(n\log n)$，其中 $n$ 是 $\textit{nums}$ 的长度。
- 空间复杂度：$\mathcal{O}(n)$。
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2407. 最长递增子序列 II
更多相似题目，见下面动态规划题单的「§11.4 树状数组/线段树优化 DP」和「专题：跳跃游戏」。
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