可可已经在三年级下学期了，数学似乎还是有点问题。这个阶段考试成绩其实都不会太差，但一旦作业或考卷上的错题并非粗心大意就值得警惕。乘除法是二年级学的，三年级已经在学两位数除一位数的除法。但会计算并不难，计算只是一项机械性技能，难的是理解乘除法的意义。理解乘除比理解加减法困难的多。

我翻出几个月前的一篇 blog，发现过了 4 个月，她的问题依旧：乘除法作为一项计算技能和其背后的意义是割裂的。这导致了很多问题到底如何解决一筹莫展。固然多作练习就能开悟，毕竟几乎没有成人回头看小学数学会觉得难以理解的。但我还是想尽力搞清楚她的小脑袋里到底是哪打结了。

今晚讲一道相当简单的数学题：

有 96 个鸡蛋，8 个一盒装，可以装多少盒？

可可不知道如何解决这个问题，我一开始是很诧异的。我先反复确认她理解了题目的文本，并非语言理解的问题。真的是无法联想到应该使用除法这个工具，而 96 这个数字过大，即使不使用除法，也不知道该如何处理。我默不作声，让她仔细想想，她愣在那里不知所措，都急得掉眼泪了。

我决定一步步推演这个问题。

先问一个简单的版本：有 12 个鸡蛋，10 个一盒装，最多可以装满几盒？

我本以为她能一口答出，但可能是前面的问题受挫，她还是不知道如何下手。我想想，从桌游盒中找了一堆 token 和若干小碗，说你自己装碗试试吧。装完 12 个后，又把问题改成了 30 个，她重新摆弄了一次，这下明白了。

我说，现在要把道具收起来了，换成草稿纸，你该如何解决这个问题呢？

我教她用减法：用 30 - 10 = 20 ， 20 - 10 = 10 ，10 - 10 = 0 ；数一下一共减了 3 次。可可说，我知道了，其实不用数，只要看数字是几十，那么就是几盒了。

那么，回到一开始的问题，不是 10 个一盒而是 8 个一盒就不能直接看出来了，该怎么办呢？可可说那我也会：她从 96 - 8 = 88 开始一步步的做减法计算，很耐心的减到了 0 ，数了一下是 12 ，中间居然没有算错。

我说，96 / 8 = 12 ，并不真的要花这么多时间做减法。你其实会算除法，只是不知道除法有什么用。除法就是连续计算减法的次数，就好比乘法就是连续做多次加法一样。你需要把 token 一个个放进碗里的过程抽象化成数字写到草稿纸上，打草稿就是把脑子里想的东西具象化出来。这个过程借助数学符号可以更简单。数字是符号，加减乘除也是符号，符号能帮助你思考，但先要明白这些符号代表的道理。

我再换个问题：

有 80 个鸡蛋，8 个一盒装，可以装多少盒？

可可没犹豫，马上告诉我是 8 盒。我说你别着急，拿草稿纸仔细算一下。她算完不好意思的告诉我是 10 盒。我画了张矩形图，给她讲解了一下 8 x 10 = 10 x 8 的道理：10 行 8 个与 8 行 10 个其实只是图形旋转了一下，总数是一样的。

那么，从 96 个鸡蛋里先拿出 80 个装满 10 盒后，剩下的还可以装多少盒呢？她计算了一下 96 - 80 = 16 ，16 / 8 = 2 ；然后 10 盒与 2 盒合在一起也是 12 。

再看除法的竖式草稿，其实是一样的。

今天花了一个小时讲这道数学题（她的考卷上的错题），这次似乎真的懂了。

我大概是去年 4 月左右开始跑步的。离上次的记录已过了半年。

最近坚持的还不错，每周可以保证至少 3 次跑步。现在的心肺能力明显好了很多。去年刚跑步时，每跑 5-10 分钟就需要步行几分钟缓缓，不然心率很容易超过 140 （我给自己定的心率上限）。现在差不多可以保持心率在 140 以下连续跑完 4 km 了。大约花费 30 分钟。这差不多是 8km/h 的平均速度，前半程会更快一点，后半程为了保持心率需要降一点速度。

我觉得另一方面的原因是在冬季，跑起来不那么热。现在会挑选中午有太阳的时候跑，晒晒太阳更舒适。跑完后也没特别累的感觉，只是在最后 10 分钟有一点点难受，希望快点结束。但每次还是坚持跑满 30 分钟。

我家附近 500 米处开了家抱石馆。在两个月前，我带可可去了一次，她莫名其妙的喜欢上了抱石。去了两次后就让我给她办张月卡。我说，次卡每次 95 ，月卡 750 ，一个月要去 8 次以上才划算。她说没问题，几乎天天晚上让我带她去。虽然有一半的动力是去岩馆撸那只胖猫，但看得出来是真的喜欢。我之前也带云豆出去攀岩，从小到大爬过上百次，谈不上讨厌，但始终爱不起来，我也没逼他。后来可可长大了一点，去过两次明显没有兴趣，我干脆就不带她去了。这次莫名其妙的爱上抱石，我是没想到的。

一开始，她只能爬 v0/v1 的线路。但进步非常快，她有从小练起的舞蹈基本功打底，身体的柔韧性特别好，尤其在爬平衡线上特别有优势。在岩馆中超过很多大人（新手）也颇为得意。在第二张月卡时，几乎可以完成所有的 V2 线路，并勉强可以挑战 V3 了。毕竟身高臂展上有劣势，一些成人可以顺利完成的 V2 线路，她需要多做几个动作，无形中提高了难度。

我跟着她也办了月卡，但不会每天爬，有时就是看着教一下，但也比过去勤快了许多。水平也跟着上升。现在可以爬一些 V4-V5 的线路了，而上次在这个水平还是小孩没出生前，体重在 75kg 以下的时候。

现在体重保持在 83kg-84kg 之间，已经很久没有降低了。比半年前再减了大约 2 kg ，比开始跑步前最重 93kg 时几乎减了 10 kg 。考虑到力量（肌肉？）也有所增长，还算满意。身边很多人都说我前两年日益见长的肚子又消失了。希望未来一年可以把体重降到 80kg 以下。

体能的上升对爬高墙的帮助特别明显。去年时，我去岩馆爬高墙，差不多 3-4 条线后就需要躺下休息。现在可以爬满两个小时。最近开始恢复爬先锋（比顶绳更消耗体力，我已经有 10 年没爬过了），发现自己又可以比较轻松的完成 5.10c/d 左右的先锋线路了。去年野外去了多次英西，一次阳朔，一次六盘水。野外先锋还没怎么爬，明年应该可以逐步恢复。

另，痛风未再来过。但尿酸水平并未降低，也没有更高。

还有一个身体的小问题值得注意：有次在去阳朔的车上和同车的岩友聊天。我说我的指关节常年疼痛，是不是大部分攀岩者都是这样。他们的水平都比我高一大截，说并不是这样，这种现象只在部分超高水平的岩友中听过，并建议我保护好指关节，减少抱石中那些指力线路。

我回头和 gemini 讨论了一下，建议是差不多的。另外可以做一些反向的力量训练，我买了一根套在指头上外撑的橡皮筋每日练习。也正是这个原因，我现在没有跟着可可一起每天抱石，并在刻意减少了需要做 Crimps 的线路。目前恢复的还不错，至少日常不爬的时候关节不疼了。

可可还拉了一个同班的小女孩一起抱石，我意外的发现她爸爸的爱好是跑马拉松。我请教了他许多长跑的问题，他说下次带我跑一次 8km 再加到 10km 。据说他从高中开始长跑，一直停留在每次 5km 的量，直到有人带着跑才越过这个坎。虽然他真的很爱长跑，但说每次跑马拉松，跑到最后也是非常难受的，全靠意志力坚持下来。

虽然云豆对和我攀岩兴趣不大，却意外的愿意和我一起跑步。部分原因是他意识到自己体重有点超标了。目前是六年级的寒假，身高 1.74m ，体重最重时有 77kg 。我说你还是跟我跑步吧，我能减下来，你也可以。

寒假第一次跟我跑了 4 km 累得不行，后来我便随着他减到 3km 一次。毕竟是小孩，慢慢的就适应了。和他一起跑步，也帮我把速度提了起来。他嫌我跑得太慢（一开始我跑 4km 需要 35 分钟），父子俩跑了几次后便在半小时之内了。这跑步的兴趣也来得莫名其妙，最近一周就跑了 5 次。（体重还真减了一些，75kg）

今天跑完我告诫他，切忌一时热情，锻炼身体是个长期的过程，贵在坚持。每次跑到最后，总会有点难受的，需要一些意志力说服自己坚持下来。有个伴当然最好，可以相互督促。养成习惯后，日后住校，也能有自驱力。

ps. 教育子女真的是个长期的活。我琢磨着儿子愿意跟我跑步还有一部分原因是最近两个月每晚带着妹妹攀岩有点懈怠了他，或许是有点吃醋：过去我总是陪他比妹妹多一点的。而妹妹似乎不愿意跑步…… 结果，我也被动的增加了颇多的运动量，何尝不是件好事。