方法一：暴力枚举
先说暴力怎么做。
我们可以枚举所有 $a>b$ 的平方和三元组 $(a,b,c)$。由于 $a^2+b^2=b^2+a^2$，所以 $(b,a,c)$ 也是平方和三元组。所以只需统计 $a>b$ 的情况，最后把统计结果乘以 $2$，即为答案。
$a=b$ 的情况呢？如果 $2a^2 = c^2$，那么 $c = \sqrt 2 a$，所以 $c$ 一定不是整数（反证法：如果 $c$ 是整数，式子变形得 $\dfrac{c}{a} = \sqrt 2$，左边是有理数，右边是无理数，有理数不可能等于无理数）。所以无需考虑 $a=b$ 的情况。
枚举 $a=2,3,\ldots,n-1$，枚举 $b=1,2,\ldots,a-1$，如果 $a^2+b^2\le n$ 且 $c = \sqrt{a^2+b^2}$ 是整数，那么我们找到了一个平方和三元组 $(a,b,c)$，计数器加一。
class Solution:
def countTriples(self, n: int) -> int:
ans = 0
for a in range(1, n):
for b in range(1, a):
if a * a + b * b > n * n:
break
c2 = a * a + b * b
if isqrt(c2) ** 2 == c2:
ans += 1
return ans * 2 # (a,b,c) 和 (b,a,c) 各算一次
class Solution {
public int countTriples(int n) {
int ans = 0;
for (int a = 1; a < n; a++) {
for (int b = 1; b < a && a * a + b * b <= n * n; b++) {
int c2 = a * a + b * b;
int c = (int) Math.sqrt(c2);
if (c * c == c2) {
ans++;
}
}
}
return ans * 2; // (a,b,c) 和 (b,a,c) 各算一次
}
}
class Solution {
public:
int countTriples(int n) {
int ans = 0;
for (int a = 1; a < n; a++) {
for (int b = 1; b < a && a * a + b * b <= n * n; b++) {
int c2 = a * a + b * b;
int c = sqrt(c2);
if (c * c == c2) {
ans++;
}
}
}
return ans * 2; // (a,b,c) 和 (b,a,c) 各算一次
}
};
func countTriples(n int) (ans int) {
for a := 1; a < n; a++ {
for b := 1; b < a && a*a+b*b <= n*n; b++ {
c2 := a*a + b*b
c := int(math.Sqrt(float64(c2)))
if c*c == c2 {
ans++
}
}
}
return ans * 2 // (a,b,c) 和 (b,a,c) 各算一次
}
复杂度分析
- 时间复杂度：$\mathcal{O}(n^2)$。
- 空间复杂度：$\mathcal{O}(1)$。
方法二：本原勾股数组
请看 勾三股四弦五：生成勾股数的公式。
class Solution:
def countTriples(self, n: int) -> int:
ans = 0
u = 3
while u * u < n * 2:
v = 1
while v < u and u * u + v * v <= n * 2:
if gcd(u, v) == 1:
ans += n * 2 // (u * u + v * v)
v += 2
u += 2
return ans * 2 # (a,b,c) 和 (b,a,c) 各算一次
MX = isqrt(500) + 1
gcds = [[0] * MX for _ in range(MX)]
for i in range(1, MX):
gcds[i][0] = i
for j in range(1, MX):
# 更相减损术
gcds[i][j] = gcds[i][j - i] if j >= i else gcds[j][i]
class Solution:
def countTriples(self, n: int) -> int:
ans = 0
u = 3
while u * u < n * 2:
v = 1
while v < u and u * u + v * v <= n * 2:
if gcds[u][v] == 1:
ans += n * 2 // (u * u + v * v)
v += 2
u += 2
return ans * 2 # (a,b,c) 和 (b,a,c) 各算一次
class Solution {
public int countTriples(int n) {
int ans = 0;
for (int u = 3; u * u < n * 2; u += 2) {
for (int v = 1; v < u && u * u + v * v <= n * 2; v += 2) {
if (gcd(u, v) == 1) {
ans += n * 2 / (u * u + v * v);
}
}
}
return ans * 2; // (a,b,c) 和 (b,a,c) 各算一次
}
private int gcd(int a, int b) {
while (a != 0) {
int tmp = a;
a = b % a;
b = tmp;
}
return b;
}
}
class Solution {
public:
int countTriples(int n) {
int ans = 0;
for (int u = 3; u * u < n * 2; u += 2) {
for (int v = 1; v < u && u * u + v * v <= n * 2; v += 2) {
if (gcd(u, v) == 1) {
ans += n * 2 / (u * u + v * v);
}
}
}
return ans * 2; // (a,b,c) 和 (b,a,c) 各算一次
}
};
func countTriples(n int) (ans int) {
for u := 3; u*u < n*2; u += 2 {
for v := 1; v < u && u*u+v*v <= n*2; v += 2 {
if gcd(u, v) == 1 {
ans += n * 2 / (u*u + v*v)
}
}
}
return ans * 2 // (a,b,c) 和 (b,a,c) 各算一次
}
func gcd(a, b int) int {
for a != 0 {
a, b = b%a, a
}
return b
}
复杂度分析
- 时间复杂度：$\mathcal{O}(n\log n)$ 或 $\mathcal{O}(n)$。枚举 $\mathcal{O}(\sqrt n\cdot \sqrt n) = \mathcal{O}(n)$ 次，每次花费 $\mathcal{O}(\log n)$ 的时间计算 GCD。如果预处理 $\sqrt {2n}$ 以内的数对 GCD，则可以做到 $\mathcal{O}(n)$ 时间，参考 Python3 写法二。
- 空间复杂度：$\mathcal{O}(1)$。
方法三：数论分块 + 容斥原理
数论分块
更仔细地考察枚举 $(u,v)$ 计算 $\left\lfloor\dfrac{2n}{u^2+v^2}\right\rfloor$ 的过程：
- 当 $u\le \sqrt[3] {n}$ 时，枚举 $(u,v)$ 的循环次数为 $\mathcal{O}(n^{2/3})$。
- 当 $u > \sqrt[3] {n}$ 时，由于 $\dfrac{2n}{u^2+v^2} < \dfrac{2n}{u^2}$，所以对于固定的 $u$，$\left\lfloor\dfrac{2n}{u^2+v^2}\right\rfloor$ 只有 $\mathcal{O}\left(\dfrac{n}{u^2}\right)$ 个不同的整数值。横看成岭侧成峰，考虑对这 $\mathcal{O}\left(\dfrac{n}{u^2}\right)$ 个不同的整数值，分别计算有多少个 $v$。
推荐读者先看 数论分块 中的图，先理解怎么算 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor$，再理解更复杂的 $\left\lfloor\dfrac{2n}{u^2+v^2}\right\rfloor$。
外层循环枚举 $u=3,5,7,\ldots$ 内层循环用数论分块枚举 $v$。
设闭区间 $[L,R]$ 内的 $v$，对应的 $\left\lfloor\dfrac{2n}{u^2+v^2}\right\rfloor$ 都相等。
如果已知 $L$，如何计算 $R$？一开始 $L=1$，只要我们算出了 $R$，那么下一个区间的左端点 $L'$ 就是 $R+1$。再用同样的方法根据 $L'$ 算出 $R'$，得到下下个区间的左端点 $L'' = R'+1$，依此类推，用这个方法可以算出后续所有区间。
设 $\textit{num} = \left\lfloor\dfrac{2n}{u^2+L^2}\right\rfloor$。
由于 $\dfrac{2n}{u^2+v^2}$ 的整数部分是 $\textit{num}$，所以
$$
\dfrac{2n}{u^2+v^2}\ge \textit{num}
$$
即
$$
(u^2+v^2)\cdot \textit{num}\le 2n
$$
在正整数情况下，上式等价于
$$
u^2+v^2\le \left\lfloor\dfrac{2n}{\textit{num}}\right\rfloor
$$
解得
$$
v\le \sqrt{\left\lfloor\dfrac{2n}{\textit{num}}\right\rfloor - u^2}
$$
由于 $v < u$，所以还要与 $u-1$ 取最小值，最终得到
$$
R = \min\left(\left\lfloor \sqrt{\left\lfloor\dfrac{2n}{\textit{num}}\right\rfloor - u^2} \right\rfloor,u-1\right)
$$
互质个数
对于 $[L,R]$ 内的 $v$，还要满足 $v$ 是奇数，且 $v$ 与 $u$ 互质。
现在问题变成：
- 给定正奇数 $u$ 和整数 $L,R$，计算 $[L,R]$ 内的与 $u$ 互质的奇数个数。
用 $[1,R]$ 的答案，减去 $[1,L-1]$ 的答案，就是 $[L,R]$ 的答案。
$[1,R]$ 内的与 $u$ 互质的奇数个数，等于 $[1,R]$ 内的与 $u$ 互质的整数个数，减去 $[1,R]$ 内的与 $u$ 互质的偶数个数。对于后者，设偶数为 $2k$，由于 $u$ 是奇数（不含质因子 $2$），所以 $\gcd(2k,u) = \gcd(k,u)$，我们只需考虑 $k$ 与 $u$ 是否互质。由于 $2k\le R$，所以 $k\le \lfloor\frac{R}{2}\rfloor$。所以 $[1,R]$ 内的与 $u$ 互质的偶数个数，等于 $[1,\lfloor\frac{R}{2}\rfloor]$ 内的与 $u$ 互质的整数个数。
设 $n$ 以内的与 $u$ 互质的正整数个数为 $f(n,u)$。那么 $[1,R]$ 的答案就是 $f(R,u) - f(\lfloor\frac{R}{2}\rfloor, u)$。
容斥原理
计算 $n$ 以内的与 $u$ 互质的正整数个数 $f(n,u)$。
例如 $u=15$。与 $15$ 互质的数，不能包含质因子 $3$ 和 $5$。
- $[1,n]$ 中有 $n$ 个数。
- 其中有 $\left\lfloor\dfrac{n}{3}\right\rfloor$ 个数是 $3$ 的倍数，这些数不与 $15$ 互质，减掉。
- 其中有 $\left\lfloor\dfrac{n}{5}\right\rfloor$ 个数是 $5$ 的倍数，这些数不与 $15$ 互质，减掉。
- 其中有 $\left\lfloor\dfrac{n}{15}\right\rfloor$ 个数既是 $3$ 的倍数，又是 $5$ 的倍数（即 $15$ 的倍数），我们多减了一次，加回来。
所以
$$
f(n,15) = n - \left\lfloor\dfrac{n}{3}\right\rfloor - \left\lfloor\dfrac{n}{5}\right\rfloor + \left\lfloor\dfrac{n}{15}\right\rfloor
$$
一般地，设 $u$ 的质因子集合为 $P$，由容斥原理可得
$$
f(n,u) = \sum_{S\subseteq P} (-1)^{|S|} \left\lfloor\dfrac{n}{\prod S}\right\rfloor
$$
用莫比乌斯函数表示就是
$$
f(n,u) = \sum_{d|u} \mu(d) \left\lfloor\dfrac{n}{d}\right\rfloor
$$
其中莫比乌斯函数为
$$
\mu(n)=
\begin{cases}
1, & n=1\
(-1)^k, & n = p_1p_2\dots p_k\
0, & n\ 有大于\ 1\ 的平方因子
\end{cases}
$$
注：也可以用莫比乌斯反演推导 $f(n,u)$ 的式子。
MX = isqrt(500) + 1
# 预处理莫比乌斯函数
# 当 n > 1 时，sum_{d|n} mu[d] = 0
# 所以 mu[n] = -sum_{d|n ∧ d<n} mu[d]
mu = [0] * MX
mu[1] = 1
for i in range(1, MX):
for j in range(i * 2, MX, i):
mu[j] -= mu[i] # i 是 j 的真因子
# 预处理不含平方因子的因子列表，用于 count_coprime
divisors = [[] for _ in range(MX)]
for i in range(1, MX):
if mu[i]:
for j in range(i, MX, i):
divisors[j].append(i) # i 是 j 的因子，且 mu[i] != 0
# 返回 [1,n] 中与 x 互质的整数个数
def count_coprime(n: int, x: int) -> int:
return sum(mu[d] * (n // d) for d in divisors[x])
# 返回 [1,n] 中与奇数 x 互质的奇数个数
# 与 x 互质的整数个数 - 与 x 互质的偶数个数
def count_coprime_odd(n: int, x: int) -> int:
return count_coprime(n, x) - count_coprime(n // 2, x)
class Solution:
def countTriples(self, n: int) -> int:
ans = 0
u = 3
while u * u < n * 2:
l = 1
while l < u and u * u + l * l <= n * 2:
num = (n * 2) // (u * u + l * l)
# 对于 [l,r] 中的整数 v，2n // (u^2 + v^2) 都等于 num
r = min(isqrt(n * 2 // num - u * u), u - 1) # 推导过程见题解
# 只有与 u 互质的奇数 v 才能得到本原勾股数组
num_coprime_odd_v = count_coprime_odd(r, u) - count_coprime_odd(l - 1, u)
ans += num * num_coprime_odd_v
l = r + 1
u += 2
return ans * 2 # (a,b,c) 和 (b,a,c) 各算一次
class Solution {
private static final int MX = 23; // floor(sqrt(250 * 2)) + 1
private static final int[] mu = new int[MX];
private static final List<Integer>[] divisors = new ArrayList[MX];
static {
// 预处理莫比乌斯函数
// 当 n > 1 时，sum_{d|n} mu[d] = 0
// 所以 mu[n] = -sum_{d|n ∧ d<n} mu[d]
mu[1] = 1;
for (int i = 1; i < MX; i++) {
for (int j = i * 2; j < MX; j += i) {
mu[j] -= mu[i]; // i 是 j 的真因子
}
}
// 预处理不含平方因子的因子列表，用于 countCoprime
Arrays.setAll(divisors, _ -> new ArrayList<>());
for (int i = 1; i < MX; i++) {
if (mu[i] == 0) {
continue;
}
for (int j = i; j < MX; j += i) {
divisors[j].add(i); // i 是 j 的因子，且 mu[i] != 0
}
}
}
public int countTriples(int n) {
int ans = 0;
for (int u = 3; u * u < n * 2; u += 2) {
for (int l = 1, r; l < u && u * u + l * l <= n * 2; l = r + 1) {
int num = (n * 2) / (u * u + l * l);
// 对于 [l,r] 中的整数 v，floor(2n / (u^2 + v^2)) 都等于 num
r = Math.min((int) Math.sqrt(n * 2 / num - u * u), u - 1); // 推导过程见题解
// 只有与 u 互质的奇数 v 才能得到本原勾股数组
int numCoprimeOddV = countCoprimeOdd(r, u) - countCoprimeOdd(l - 1, u);
ans += num * numCoprimeOddV;
}
}
return ans * 2; // (a,b,c) 和 (b,a,c) 各算一次
}
// 返回 [1,n] 中与奇数 x 互质的奇数个数
// 与 x 互质的整数个数 - 与 x 互质的偶数个数
private int countCoprimeOdd(int n, int x) {
return countCoprime(n, x) - countCoprime(n / 2, x);
}
// 返回 [1,n] 中与 x 互质的整数个数
private int countCoprime(int n, int x) {
int res = 0;
for (int d : divisors[x]) {
res += mu[d] * (n / d);
}
return res;
}
}
constexpr int MX = 23; // floor(sqrt(250 * 2)) + 1
int mu[MX];
vector<int> divisors[MX];
int init = [] {
// 预处理莫比乌斯函数
// 当 n > 1 时，sum_{d|n} mu[d] = 0
// 所以 mu[n] = -sum_{d|n ∧ d<n} mu[d]
mu[1] = 1;
for (int i = 1; i < MX; i++) {
for (int j = i * 2; j < MX; j += i) {
mu[j] -= mu[i]; // i 是 j 的真因子
}
}
// 预处理不含平方因子的因子列表，用于 count_coprime
for (int i = 1; i < MX; i++) {
if (mu[i]) {
for (int j = i; j < MX; j += i) {
divisors[j].push_back(i); // i 是 j 的因子，且 mu[i] != 0
}
}
}
return 0;
}();
class Solution {
// 返回 [1,n] 中与 x 互质的整数个数
int count_coprime(int n, int x) {
int res = 0;
for (int d : divisors[x]) {
res += mu[d] * (n / d);
}
return res;
}
// 返回 [1,n] 中与奇数 x 互质的奇数个数
// 与 x 互质的整数个数 - 与 x 互质的偶数个数
int count_coprime_odd(int n, int x) {
return count_coprime(n, x) - count_coprime(n / 2, x);
}
public:
int countTriples(int n) {
int ans = 0;
for (int u = 3; u * u < n * 2; u += 2) {
for (int l = 1, r; l < u && u * u + l * l <= n * 2; l = r + 1) {
int num = (n * 2) / (u * u + l * l);
// 对于 [l,r] 中的整数 v，floor(2n / (u^2 + v^2)) 都等于 num
r = min((int) sqrt(n * 2 / num - u * u), u - 1); // 推导过程见题解
// 只有与 u 互质的奇数 v 才能得到本原勾股数组
int num_coprime_odd_v = count_coprime_odd(r, u) - count_coprime_odd(l - 1, u);
ans += num * num_coprime_odd_v;
}
}
return ans * 2; // (a,b,c) 和 (b,a,c) 各算一次
}
};
const mx = 23 // floor(sqrt(250 * 2)) + 1
var mu = [mx]int{1: 1}
var divisors [mx][]int
func init() {
// 预处理莫比乌斯函数
// 当 n > 1 时，sum_{d|n} mu[d] = 0
// 所以 mu[n] = -sum_{d|n ∧ d<n} mu[d]
for i := 1; i < mx; i++ {
for j := i * 2; j < mx; j += i {
mu[j] -= mu[i] // i 是 j 的真因子
}
}
// 预处理不含平方因子的因子列表，用于 countCoprime
for i := 1; i < mx; i++ {
if mu[i] == 0 {
continue
}
for j := i; j < mx; j += i {
divisors[j] = append(divisors[j], i) // i 是 j 的因子，且 mu[i] != 0
}
}
}
// 返回 [1,n] 中与 x 互质的整数个数
func countCoprime(n, x int) (res int) {
for _, d := range divisors[x] {
res += mu[d] * (n / d)
}
return
}
// 返回 [1,n] 中与奇数 x 互质的奇数个数
// 与 x 互质的整数个数 - 与 x 互质的偶数个数
func countCoprimeOdd(n, x int) (res int) {
return countCoprime(n, x) - countCoprime(n/2, x)
}
func countTriples(n int) (ans int) {
for u := 3; u*u < n*2; u += 2 {
for l, r := 1, 0; l < u && u*u+l*l <= n*2; l = r + 1 {
num := n * 2 / (u*u + l*l)
// 对于 [l,r] 中的整数 v，floor(2n / (u^2 + v^2)) 都等于 num
r = min(int(math.Sqrt(float64(n*2/num-u*u))), u-1) // 推导过程见题解
// 只有与 u 互质的奇数 v 才能得到本原勾股数组
numCoprimeOddV := countCoprimeOdd(r, u) - countCoprimeOdd(l-1, u)
ans += num * numCoprimeOddV
}
}
return ans * 2 // (a,b,c) 和 (b,a,c) 各算一次
}
func gcd(a, b int) int {
for a != 0 {
a, b = b%a, a
}
return b
}
复杂度分析
预处理的时空复杂度为 $\mathcal{O}(\sqrt N\log N)$，$N=500$，不计入。
- 时间复杂度：$\mathcal{O}(n^{2/3} \log n)$。为方便分析，这里省略 $2n$ 中的常系数 $2$（不影响时间复杂度）。当 $u\le \sqrt[3] n$ 时，枚举 $u$ 和 $v$ 是 $\mathcal{O}(n^{2/3})$ 的。当 $u > \sqrt[3] n$ 时，对于固定的 $u$，$\left\lfloor\dfrac{n}{u^2+v^2}\right\rfloor$ 有 $\mathcal{O}\left(\dfrac{n}{u^2}\right)$ 种不同的整数值。用积分估计，$\displaystyle\sum_{u=n^{1/3}}^{n^{1/2}} \dfrac{n}{u^2}\approx \displaystyle \int_{n^{1/3}}^{n^{1/2}} \dfrac{n}{u^2} , \mathrm{d}u = n^{2/3} - n^{1/2}$，所以当 $u > \sqrt[3] n$ 时的循环次数为 $\mathcal{O}(n^{2/3})$。由于 $\sqrt n$ 以内正整数的平均因子个数是 $\mathcal{O}(\log n)$ 的（即使只考虑 $\mu(d)\ne 0$ 的因子，平均因子个数仍然是 $\mathcal{O}(\log n)$ 的），所以总的时间复杂度为 $\mathcal{O}(n^{2/3} \log n)$。
- 空间复杂度：$\mathcal{O}(1)$。
注：进一步地，考虑根号分解，取阈值 $B = \sqrt[3] {n\ln n} $，当 $u\le B$ 时使用方法二，当 $u>B$ 时使用方法三，可以做到 $\mathcal{O}\left((n\log n)^{2/3}\right)$ 的时间复杂度。
分类题单
如何科学刷题？
- 滑动窗口与双指针（定长/不定长/单序列/双序列/三指针/分组循环）
- 二分算法（二分答案/最小化最大值/最大化最小值/第K小）
- 单调栈（基础/矩形面积/贡献法/最小字典序）
- 网格图（DFS/BFS/综合应用）
- 位运算（基础/性质/拆位/试填/恒等式/思维）
- 图论算法（DFS/BFS/拓扑排序/基环树/最短路/最小生成树/网络流）
- 动态规划（入门/背包/划分/状态机/区间/状压/数位/数据结构优化/树形/博弈/概率期望）
- 常用数据结构（前缀和/差分/栈/队列/堆/字典树/并查集/树状数组/线段树）
- 数学算法（数论/组合/概率期望/博弈/计算几何/随机算法）
- 贪心与思维（基本贪心策略/反悔/区间/字典序/数学/思维/脑筋急转弯/构造）
- 链表、树与回溯（前后指针/快慢指针/DFS/BFS/直径/LCA）
- 字符串（KMP/Z函数/Manacher/字符串哈希/AC自动机/后缀数组/子序列自动机）
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