方法一：差分
前置知识：差分原理讲解。
设 $x = \textit{nums}[i]$。根据题意，$x$ 可以变成 $[x-k,x+k]$ 中的整数。
题目让我们计算操作后，最多有多少个数相同。
例如 $\textit{nums}=[2,4]$，$k=1$，$\textit{numOperations}=2$。$2$ 可以变成 $[1,3]$ 中的整数，$4$ 可以变成 $[3,5]$ 中的整数。$2$ 和 $4$ 都可以变成 $3$，所以答案是 $2$。
一般地，$x$ 可以变成 $[x-k,x+k]$ 中的整数，我们可以把 $[x-k,x+k]$ 中的每个整数的出现次数都加一，然后统计出现次数的最大值。这可以用差分实现。
计算差分的前缀和。设有 $\textit{sumD}$ 个数可以变成 $y$。
如果 $y$ 不在 $\textit{nums}$ 中，那么 $y$ 的最大出现次数不能超过 $\textit{numOperations}$，与 $\textit{sumD}$ 取最小值，得 $\min(\textit{sumD}, \textit{numOperations})$。
如果 $y$ 在 $\textit{nums}$ 中，且出现了 $\textit{cnt}$ 次，那么有 $\textit{sumD}-\textit{cnt}$ 个其他元素（不等于 $y$ 的数）可以变成 $y$，但这不能超过 $\textit{numOperations}$，所以有
$$
\min(\textit{sumD}-\textit{cnt}, \textit{numOperations})
$$
个其他元素可以变成 $y$，再加上 $y$ 自身出现的次数 $\textit{cnt}$，得到 $y$ 的最大频率为
$$
\textit{cnt} + \min(\textit{sumD}-\textit{cnt}, \textit{numOperations}) = \min(\textit{sumD}, \textit{cnt}+\textit{numOperations})
$$
注意上式兼容 $y$ 不在 $\textit{nums}$ 中的情况，此时 $\textit{cnt}=0$。
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答疑
问：为什么代码只考虑在 $\textit{diff}$ 和 $\textit{nums}$ 中的数字？
答：比如 $x$ 在 $\textit{diff}$ 中，$x+1,x+2,\ldots$ 不在 $\textit{diff}$ 中，那么 $x+1,x+2,\ldots$ 的 $\textit{sumD}$ 和 $\textit{x}$ 的是一样的，无需重复计算。此外，要想算出比 $\min(\textit{sumD}, \textit{cnt}+\textit{numOperations})$ 更大的数，要么 $\textit{sumD}$ 变大，要么 $\textit{cnt}$ 变大。「变大」时的 $x$ 必然在 $\textit{diff}$ 或 $\textit{nums}$ 中。
###py
class Solution:
def maxFrequency(self, nums: List[int], k: int, numOperations: int) -> int:
cnt = defaultdict(int)
diff = defaultdict(int)
for x in nums:
cnt[x] += 1
diff[x] # 把 x 插入 diff，以保证下面能遍历到 x
diff[x - k] += 1 # 把 [x-k,x+k] 中的每个整数的出现次数都加一
diff[x + k + 1] -= 1
ans = sum_d = 0
for x, d in sorted(diff.items()):
sum_d += d
ans = max(ans, min(sum_d, cnt[x] + numOperations))
return ans
###java
class Solution {
int maxFrequency(int[] nums, int k, int numOperations) {
Map<Integer, Integer> cnt = new HashMap<>();
Map<Integer, Integer> diff = new TreeMap<>();
for (int x : nums) {
cnt.merge(x, 1, Integer::sum); // cnt[x]++
diff.putIfAbsent(x, 0); // 把 x 插入 diff，以保证下面能遍历到 x
// 把 [x-k, x+k] 中的每个整数的出现次数都加一
diff.merge(x - k, 1, Integer::sum); // diff[x-k]++
diff.merge(x + k + 1, -1, Integer::sum); // diff[x+k+1]--
}
int ans = 0;
int sumD = 0;
for (Map.Entry<Integer, Integer> e : diff.entrySet()) {
sumD += e.getValue();
ans = Math.max(ans, Math.min(sumD, cnt.getOrDefault(e.getKey(), 0) + numOperations));
}
return ans;
}
}
###cpp
class Solution {
public:
int maxFrequency(vector<int>& nums, int k, int numOperations) {
unordered_map<int, int> cnt;
map<int, int> diff;
for (int x : nums) {
cnt[x]++;
diff[x]; // 把 x 插入 diff，以保证下面能遍历到 x
diff[x - k]++; // 把 [x-k, x+k] 中的每个整数的出现次数都加一
diff[x + k + 1]--;
}
int ans = 0, sum_d = 0;
for (auto& [x, d] : diff) {
sum_d += d;
ans = max(ans, min(sum_d, cnt[x] + numOperations));
}
return ans;
}
};
###go
func maxFrequency(nums []int, k, numOperations int) (ans int) {
cnt := map[int]int{}
diff := map[int]int{}
for _, x := range nums {
cnt[x]++
diff[x] += 0 // 把 x 插入 diff，以保证下面能遍历到 x
diff[x-k]++ // 把 [x-k, x+k] 中的每个整数的出现次数都加一
diff[x+k+1]--
}
sumD := 0
for _, x := range slices.Sorted(maps.Keys(diff)) {
sumD += diff[x]
ans = max(ans, min(sumD, cnt[x]+numOperations))
}
return
}
复杂度分析
- 时间复杂度：$\mathcal{O}(n\log n)$，其中 $n$ 是 $\textit{nums}$ 的长度。
- 空间复杂度：$\mathcal{O}(n)$。
方法二：同向三指针 + 同向双指针
核心思路
- 计算有多少个数能变成 $x$，其中 $x = \textit{nums}[i]$。用同向三指针实现。
- 计算有多少个数能变成 $x$，其中 $x$ 不一定在 $\textit{nums}$ 中。用同向双指针实现。
同向三指针
把 $\textit{nums}$ 从小到大排序。
遍历 $\textit{nums}$。设 $x=\textit{nums}[i]$，计算元素值在 $[x-k,x+k]$ 中的元素个数，这些元素都可以变成 $x$。
遍历的同时，维护左指针 $\textit{left}$，它是最小的满足
$$
\textit{nums}[\textit{left}] \ge x - k
$$
的下标。
遍历的同时，维护右指针 $\textit{right}$，它是最小的满足
$$
\textit{nums}[\textit{right}] > x + k
$$
的下标。如果不存在，则 $\textit{right}=n$。
下标在左闭右开区间 $[\textit{left},\textit{right})$ 中的元素，都可以变成 $x$。这有
$$
\textit{sumD} = \textit{right} - \textit{left}
$$
个。
遍历的同时，求出 $x$ 有 $\textit{cnt}$ 个。然后用方法一的公式，更新答案的最大值。
同向双指针
同向三指针没有考虑「变成不在 $\textit{nums}$ 中的数」这种情况。
然而，不在 $\textit{nums}$ 中的数太多了！怎么减少计算量？
假设都变成 $y$，那么只有 $[y-k,y+k]$ 中的数能变成 $y$。
把 $\textit{nums}[i]$ 视作一维坐标轴上的点，想象一个窗口 $[y-k,y+k]$ 在不断地向右滑动，什么时候窗口内的元素个数才会变大？
- 如果我们从 $[y-k-1,y+k-1]$ 移动到 $[y-k,y+k]$，且 $y+k$ 不在 $\textit{nums}$ 中，此时窗口内的元素个数不会变大，甚至因为左端点收缩了，元素个数可能会变小。
- 所以，只有当 $y+k$ 恰好在 $\textit{nums}$ 中时，窗口内的元素个数才可能会变大。
-
结论：我们只需考虑 $y+k$ 在 $\textit{nums}$ 中时的 $y$！
于是，枚举 $x=\textit{nums}[\textit{right}]$，计算元素值在 $[x-2k,x]$ 中的元素个数，这些元素都可以变成同一个数 $y=x-k$。
左指针 $\textit{left}$ 是最小的满足
$$
\textit{nums}[\textit{left}] \ge x-2k
$$
的下标。
计算好 $\textit{left}$ 后，下标在 $[\textit{left}, \textit{right}]$ 中的数可以变成一样的，这有
$$
\textit{right} - \textit{left} + 1
$$
个。注意上式不能超过 $\textit{numOperations}$。
小优化
由于同向双指针算出的结果不超过 $\textit{numOperations}$，所以当同向三指针计算完毕后，如果发现答案已经 $\ge \textit{numOperations}$，那么无需计算同向双指针。
###py
class Solution:
def maxFrequency(self, nums: List[int], k: int, numOperations: int) -> int:
nums.sort()
n = len(nums)
ans = cnt = left = right = 0
for i, x in enumerate(nums):
cnt += 1
# 循环直到连续相同段的末尾，这样可以统计出 x 的出现次数
if i < n - 1 and x == nums[i + 1]:
continue
while nums[left] < x - k:
left += 1
while right < n and nums[right] <= x + k:
right += 1
ans = max(ans, min(right - left, cnt + numOperations))
cnt = 0
if ans >= numOperations:
return ans
left = 0
for right, x in enumerate(nums):
while nums[left] < x - k * 2:
left += 1
ans = max(ans, right - left + 1)
return min(ans, numOperations) # 最后和 numOperations 取最小值
###java
class Solution {
public int maxFrequency(int[] nums, int k, int numOperations) {
Arrays.sort(nums);
int n = nums.length;
int ans = 0;
int cnt = 0;
int left = 0;
int right = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int x = nums[i];
cnt++;
// 循环直到连续相同段的末尾，这样可以统计出 x 的出现次数
if (i < n - 1 && x == nums[i + 1]) {
continue;
}
while (nums[left] < x - k) {
left++;
}
while (right < n && nums[right] <= x + k) {
right++;
}
ans = Math.max(ans, Math.min(right - left, cnt + numOperations));
cnt = 0;
}
if (ans >= numOperations) {
return ans;
}
left = 0;
for (right = 0; right < n; right++) {
int x = nums[right];
while (nums[left] < x - k * 2) {
left++;
}
ans = Math.max(ans, right - left + 1);
}
return Math.min(ans, numOperations); // 最后和 numOperations 取最小值
}
}
###cpp
class Solution {
public:
int maxFrequency(vector<int>& nums, int k, int numOperations) {
ranges::sort(nums);
int n = nums.size();
int ans = 0, cnt = 0, left = 0, right = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int x = nums[i];
cnt++;
// 循环直到连续相同段的末尾，这样可以统计出 x 的出现次数
if (i < n - 1 && x == nums[i + 1]) {
continue;
}
while (nums[left] < x - k) {
left++;
}
while (right < n && nums[right] <= x + k) {
right++;
}
ans = max(ans, min(right - left, cnt + numOperations));
cnt = 0;
}
if (ans >= numOperations) {
return ans;
}
left = 0;
for (int right = 0; right < n; right++) {
int x = nums[right];
while (nums[left] < x - k * 2) {
left++;
}
ans = max(ans, right - left + 1);
}
return min(ans, numOperations); // 最后和 numOperations 取最小值
}
};
###go
func maxFrequency(nums []int, k, numOperations int) (ans int) {
slices.Sort(nums)
n := len(nums)
var cnt, left, right int
for i, x := range nums {
cnt++
// 循环直到连续相同段的末尾，这样可以统计出 x 的出现次数
if i < n-1 && x == nums[i+1] {
continue
}
for nums[left] < x-k {
left++
}
for right < n && nums[right] <= x+k {
right++
}
ans = max(ans, min(right-left, cnt+numOperations))
cnt = 0
}
if ans >= numOperations {
return ans
}
left = 0
for right, x := range nums {
for nums[left] < x-k*2 {
left++
}
ans = max(ans, right-left+1)
}
return min(ans, numOperations) // 最后和 numOperations 取最小值
}
也可以把两个 for 循环合起来。
###py
class Solution:
def maxFrequency(self, nums: List[int], k: int, numOperations: int) -> int:
nums.sort()
n = len(nums)
ans = cnt = left = right = left2 = 0
for i, x in enumerate(nums):
while nums[left2] < x - k * 2:
left2 += 1
ans = max(ans, min(i - left2 + 1, numOperations))
cnt += 1
# 循环直到连续相同段的末尾，这样可以统计出 x 的出现次数
if i < n - 1 and x == nums[i + 1]:
continue
while nums[left] < x - k:
left += 1
while right < n and nums[right] <= x + k:
right += 1
ans = max(ans, min(right - left, cnt + numOperations))
cnt = 0
return ans
###java
class Solution {
public int maxFrequency(int[] nums, int k, int numOperations) {
Arrays.sort(nums);
int n = nums.length;
int ans = 0;
int cnt = 0;
int left = 0;
int right = 0;
int left2 = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int x = nums[i];
while (nums[left2] < x - k * 2) {
left2++;
}
ans = Math.max(ans, Math.min(i - left2 + 1, numOperations));
cnt++;
// 循环直到连续相同段的末尾，这样可以统计出 x 的出现次数
if (i < n - 1 && x == nums[i + 1]) {
continue;
}
while (nums[left] < x - k) {
left++;
}
while (right < n && nums[right] <= x + k) {
right++;
}
ans = Math.max(ans, Math.min(right - left, cnt + numOperations));
cnt = 0;
}
return ans;
}
}
###cpp
class Solution {
public:
int maxFrequency(vector<int>& nums, int k, int numOperations) {
ranges::sort(nums);
int n = nums.size();
int ans = 0, cnt = 0, left = 0, right = 0, left2 = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int x = nums[i];
while (nums[left2] < x - k * 2) {
left2++;
}
ans = max(ans, min(i - left2 + 1, numOperations));
cnt++;
// 循环直到连续相同段的末尾，这样可以统计出 x 的出现次数
if (i < n - 1 && x == nums[i + 1]) {
continue;
}
while (nums[left] < x - k) {
left++;
}
while (right < n && nums[right] <= x + k) {
right++;
}
ans = max(ans, min(right - left, cnt + numOperations));
cnt = 0;
}
return ans;
}
};
###go
func maxFrequency(nums []int, k, numOperations int) (ans int) {
slices.Sort(nums)
n := len(nums)
var cnt, left, right, left2 int
for i, x := range nums {
for nums[left2] < x-k*2 {
left2++
}
ans = max(ans, min(i-left2+1, numOperations))
cnt++
// 循环直到连续相同段的末尾，这样可以统计出 x 的出现次数
if i < n-1 && x == nums[i+1] {
continue
}
for nums[left] < x-k {
left++
}
for right < n && nums[right] <= x+k {
right++
}
ans = max(ans, min(right-left, cnt+numOperations))
cnt = 0
}
return
}
复杂度分析
- 时间复杂度：$\mathcal{O}(n\log n)$，其中 $n$ 是 $\textit{nums}$ 的长度。瓶颈在排序上。
- 空间复杂度：$\mathcal{O}(1)$。忽略排序的栈开销。
专题训练
- 下面数据结构题单的「§2.1 一维差分」。
- 下面双指针题单的「§3.2 同向双指针」和「五、三指针」。
分类题单
如何科学刷题？
- 滑动窗口与双指针（定长/不定长/单序列/双序列/三指针）
- 二分算法（二分答案/最小化最大值/最大化最小值/第K小）
- 单调栈（基础/矩形面积/贡献法/最小字典序）
- 网格图（DFS/BFS/综合应用）
- 位运算（基础/性质/拆位/试填/恒等式/思维）
- 图论算法（DFS/BFS/拓扑排序/最短路/最小生成树/二分图/基环树/欧拉路径）
- 动态规划（入门/背包/状态机/划分/区间/状压/数位/数据结构优化/树形/博弈/概率期望）
- 常用数据结构（前缀和/差分/栈/队列/堆/字典树/并查集/树状数组/线段树）
- 数学算法（数论/组合/概率期望/博弈/计算几何/随机算法）
- 贪心与思维（基本贪心策略/反悔/区间/字典序/数学/思维/脑筋急转弯/构造）
- 链表、树与回溯（前后指针/快慢指针/DFS/BFS/直径/LCA）
- 字符串（KMP/Z函数/Manacher/字符串哈希/AC自动机/后缀数组/子序列自动机）
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